Si borro una aplicación comprada con una AppleID antigua y la vuelvo a comprar con una AppleID nueva, ¿se borrarán mis datos antiguos?

Posiblemente, sí.

Depende de cómo la app almacene los datos, que puede ser de forma local en la instalación, en el servidor de la compañía de juegos, en iCloud Disk, o en iCloud Data (o además en las APIs de GameCenter para datos de juegos que son variaciones de las anteriores).

Almacenado en el servidor del juego

Si creaste un inicio de sesión para el juego, lo más probable es que tu progreso se almacene en su servidor y podrías probar descargando el juego en un segundo dispositivo y ver si tu progreso se mantiene.

Normalmente, las gemas u otras monedas "premium" que has pagado con dinero del mundo real no son transferibles entre sistemas operativos (las gemas compradas en Android no se transfieren a un iPhone, y viceversa).

iCloud

Si utilizas ID de Apple por separado para tus inicios de sesión en iCloud y App/iTunes Store, es posible que los datos de la aplicación ya estén en tu almacenamiento previsto en iCloud.

Descarga de aplicaciones

Si utilizas la función "offload app" mencionada en el comentario de Ihf, entonces estás un poco más seguro, ya que los datos locales no deberían ser eliminados, sólo los datos de la aplicación. Ve a la sección Aplicación de configuración > Almacenamiento en el iPhone/iPad entonces activa la opción global de Descargar Aplicaciones No Utilizadas o desplázate hacia abajo en la lista y "descarga" la aplicación específica de la que quieres ahorrar espacio.

Ten en cuenta que, como esto normalmente sólo elimina la aplicación y no los datos almacenados en la caché, si tu juego utiliza una fase de descarga antes de jugar (como cuando descargaste la aplicación por primera vez, y luego de nuevo cuando actualizan el contenido), entonces puede que no veas mucho espacio de almacenamiento liberado por este método, ya que tu dispositivo está reteniendo los archivos locales.

Presta atención al "Tamaño de la aplicación" de una aplicación frente a sus "Documentos y datos" en la lista de ajustes de descarga. Garage Band en mi iPhone consume más de 3GB, 1,5GB en la App, y 1,8GB en Documentos y Datos. La descarga sólo liberaría los 1,5 GB de la propia aplicación.

También hay que tener en cuenta que la función global "Descargar aplicaciones no utilizadas" puede ser un poco agresiva para algunas necesidades. He tenido algunas aplicaciones que utilizo a diario o semanalmente que han sido barridas a la lista para ser descargadas, y necesitas tener acceso a internet para poder volver a lanzarlas después de ser descargadas, ya que en efecto necesitas volver a descargarlas desde la AppStore (aunque, sin tener que lanzar la AppStore).

Las aplicaciones descargadas mostrarán un icono de descarga en la nube en su nombre en la pantalla de inicio para que puedas ver de un vistazo cuáles se han eliminado para liberar espacio.