La App Store sigue pidiéndome que escriba el código de verificación después de la contraseña, pero no recibo ningún código de verificación

Esto sucede porque has activado la autenticación de 2 factores en tu Apple-ID (lo cual es bueno). Mavericks fue creado antes de que este método de autenticación de 2 factores estuviera disponible para los Apple-ID y, por tanto, no lo conoce. Para seguir soportando el inicio de sesión desde Mavericks, tienes que introducir no sólo tu contraseña en el campo de contraseña, sino tu contraseña seguida del código de verificación de 2 factores (6 dígitos).

El código de verificación se muestra automáticamente en los dispositivos de confianza (como iPhones, iPads y Macs). Si no tienes un dispositivo de confianza y estás iniciando sesión a través de un sitio web, un dispositivo iOS o una versión reciente de MacOS, podrás elegir que la verificación se envíe como un mensaje de texto o una llamada de voz. Sin embargo, si sólo tienes tu Mac Mavericks, es demasiado antiguo para soportar esa función.

Yo sugeriría actualizar tu versión de MacOS a la última versión posible. La autenticación de 2 factores es totalmente compatible con Mac OS X El Capitan (10.11). Tu MacBook con Mavericks debería ser totalmente capaz de ejecutar El Capitan también.