Qué parece es que el sitio web cree que estás usando Safari para MacOS y en realidad estás usando Safari para iOS, que usa el mismo motor de renderizado pero es completamente diferente en la forma en que te permite configurar el manejo de los medios.
De hecho, no he visto ningún ajuste para la reproducción automática aquí:
Settings > Safari
Los ajustes de las aplicaciones de iOS son casi siempre en la aplicación de Ajustes. Todas las aplicaciones de Apple (integradas) tienen sus ajustes allí.
Lo que yo hizo ver que una opción para "Solicitar sitio web de escritorio".
Puede ser que esté activada y sea necesario desactivarla para que este sitio web en particular funcione correctamente. Si está activada, desactívala y el sitio web se dará cuenta de que estás en un iPhone y cambiará el contenido para que esté optimizado para un dispositivo móvil.
También es posible que te encuentres con un error en el software beta que tienes instalado en tu teléfono, que no tiene solución hasta (quizás) la próxima versión beta.