No se puede escribir en el disco de datos de TimeMachine - se dice "No tiene suficientes permisos para escribir en '/Volumes' - los archivos dicen (desconocido) leer y escribir

Así que asumo que no guardas nada de valor ahí (esos archivos NO serán respaldados). También supongo que te conectas al recurso compartido TC usando SMB o AFP o la barra lateral de Windows del Finder: sólo tienes que comprobar las credenciales con las que te estás conectando (clic en TC en la barra lateral, clic en "Conectar como..." en la barra superior). Nunca he tenido suerte intentando cambiar los permisos de usuario en un recurso compartido desde otra máquina. Creo que deberías comprobar Utilidad AirPort/Compartir archivos/Discos compartidos seguros/Con cuentas buscando las credenciales de usuario, siguiendo estas instrucciones: https://support.apple.com/en-us/HT202254 . Espero que esto ayude.

Esaruoho... solo TM debería poder escribir en un disco TM. Por lo general, no se descarga nada del disco: en su lugar, debes elegir "Entrar en Time Machine" desde su menú y restaurar los archivos que necesites desde la interfaz de Time Machine. Espero que esto ayude.