Obtendrá el sonido de notificación con cada evento push que resulte en un nuevo mensaje a cualquier buzón.
A Google le gusta enviar el correo a All Mail así como a Inbox, así que esa es la causa probable de los dos eventos push. Podrías hacer una regla temporal para omitir la bandeja de entrada para todos los mensajes y probar para confirmar que esta es la causa principal. El teléfono los ve como dos mensajes, porque en realidad son dos mensajes que llegan en momentos diferentes a buzones distintos. No conozco una forma de marcar el correo de todos como siempre leído, pero quizás los filtros de google sean lo suficientemente potentes como para que esto ocurra en tu cuenta.
Hasta que (o si) google cambie las cosas para empujarlas todas a la vez, puedes habilitar el control sobre las carpetas/etiquetas en la configuración de las etiquetas. Al controlar el Mostrar en IMAP... estado, debería ser capaz de evitar el segundo ding.
También puedes probar a establecer reglas para evitar que un mismo mensaje llegue a más de una carpeta como mensaje no leído. iOS no hace ding en la sincronización de los mensajes leídos, sólo en las sincronizaciones que cambian el recuento de los no leídos en una carpeta.
Por último, iOS ha cambiado el comportamiento de la aplicación de correo móvil en el pasado para trabajar mejor con el correo de Google. Es una queja común, y también podría arreglarse con un cambio en el correo en iOS.