Encontrado este artículo de soporte de apple cubre este error exacto: - https://support.apple.com/en-gb/HT201422
Comprueba la configuración de tu dispositivo
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Asegúrate de que estás conectado a una red de datos móviles o Wi-Fi. Si utilizas un iPhone, necesitarás un mensaje SMS para activar tu número de teléfono con iMessage y FaceTime. Dependiendo de tu operador, es posible que te cobren por este SMS.
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Ve a Ajustes > General > Fecha y hora y asegúrate de que tu zona horaria está configurada correctamente.
 Apagar y reiniciar iMessage y FaceTime
Ve a Ajustes > Mensajes y desactiva iMessage.
Ve a Ajustes > FaceTime y desactiva FaceTime.
Reinicia el dispositivo.
Vuelve a activar iMessage y FaceTime.
 ¿Todavía no se ha activado después de un día? La activación de iMessage y FaceTime puede tardar hasta 24 horas. Si el problema persiste después de 24 horas sigue estos pasos:
Asegúrate de que tu dispositivo tiene la última versión de iOS.
Si utilizas un iPhone, ponte en contacto con tu carrie puede recibir mensajes SMS.
Ponte en contacto con el Soporte de Apple.
Tiene los enlaces a la asistencia una vez que has descartado las cosas fáciles como un ajuste en tu Mac. Pueden ayudarte si tu conexión de red no llega a los servidores de Apple o si hay algún problema con tu cuenta en el servidor.
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No estoy seguro de que esto sea una solución a su problema, pero periódicamente, yo estimaría que una vez cada dos semanas, me doy cuenta de que iMessage se cierra la sesión en uno o ambos de mis Macs, un MacBook Pro y un MacBook Mini. Cada vez que intento volver a iniciar sesión, aparece el mensaje "Se ha producido un error durante la activación". Reinicio una o dos veces e iMessage se registra sin que yo haga nada y recibo alertas en todos los dispositivos Mac de que mi ID se está utilizando en un nuevo dispositivo. Así que lo primero que yo haría es intentar reiniciar varias veces para comprobar si se inicia sesión o no.