¿Cómo puedo obligar a Apple Mail a actualizar COMPLETAMENTE una cuenta IMAP?

No estoy seguro de si esto funcionará para todos, pero pude resolver el problema en dos partes. Para obtener mensajes para mostrar correctamente para todas las carpetas de la cuenta, que necesitaba desactivar / eliminar la cuenta de iCloud por lo que ya no estaba siendo sincronizado. Luego eliminé la carpeta del buzón descrita en la pregunta y la añadí localmente al MacBook.

Después de que las carpetas se mostraran correctamente, el índice seguía un poco desordenado en el sentido de que la bandeja de entrada mostraba un recuento de no leídos que no existía.

Para deshacerme de esto, tuve que reconstruir el índice completo -- esto parece ser diferente de la función Reconstruir que existe en el menú Buzón, y es más similar a lo que ocurre cuando abres una versión actualizada del correo por primera vez.

1. Salir del correo
2. Vaya a ~/Library/Mail/V2/MailData
3. Eliminar cualquier archivo que empiece por "Índice de sobres"
4. Iniciar correo
5. Sigue las instrucciones para que Mail reconstruya el índice, lo que puede requerir varios reinicios de la aplicación.

Estás en el buen camino con la limpieza de las cosas "como un animal" en ~ / Biblioteca, pero hay algunas desventajas a esto.

Lo primero que hay que hacer es asegurarse de que realmente no es un problema con la configuración de los servidores de Apple Mail y Gmail. Yo crearía una nueva cuenta de usuario en el Mac problemático y configuraría sólo esa cuenta de correo. Tu teoría de que el MacBook es el problema es lo más probable, pero ¿y si los otros dos Mac están dañados y el MacBook está recibiendo realmente lo que Gmail envía (aunque Apple Mail está interpretando esos bits de forma incorrecta)?

Si tuviera que trastear en ~/Librería, haría lo siguiente:

• Hacer una buena copia de seguridad de mi Mac (Time Machine u otra)

• Comprime las descargas de correo: al eliminar los datos de los buzones quedarán descargas huérfanas, así que tendré que ordenarlas más adelante.

• Salir del correo y desactivar todas las cuentas de correo en el panel Cuentas de Internet de las preferencias del sistema (desmarcarlas).

• Mueve los siguientes directorios y archivos a la papelera.

~/Library/Mail
~/Library/Containers/com.apple.mail
~/Library/Containers/com.apple.MailServiceAgent
~/Library/Preferences/com.apple.mail-shared.plist

• Reiniciar y vaciar la papelera / reverificar que los archivos anteriores se han ido realmente.

• Elimina y vuelve a añadir esa cuenta de gmail a Cuentas de Internet desde Preferencias del Sistema.

Recomiendo evitar que gmail sincronice todo.

Para ello, vaya a la sección "Etiquetas" de la configuración de gmail.

También puedes ir a la sección IMAP/POP de la configuración y limitar el número de mensajes a sincronizar por carpeta IMAP, yo uso 1000 mensajes.

Sé que no es una solución, pero sin duda me ayuda mucho con los problemas de sincronización de gmail con Apple Mail.app.

He probado todo lo que has probado tú y también las sugerencias de bmike. Borrar todas las preferencias/cachés, etc. causó más problemas de los que resolvió, así que las volví a poner y decidí probar un enfoque más quirúrgico. Para cualquiera que siga leyendo esto, lo que pareció arreglarlo al final fue

1. Eliminación de las carpetas correspondientes en ~/Library/Mail/V2/
2. Editar Accounts.plist en un editor de texto y eliminar la sección correspondiente a la cuenta no deseada.

Como todo el mundo ha sugerido, asegúrate de que tienes copias de seguridad antes de intentar nada, pero a mí me ha funcionado bien.

Según la información que has proporcionado, parece que Gmail está mal configurado en el Macbook. Yo me aseguraría de que la configuración del correo en Mail>Preferencias>Cuentas es exactamente la misma en los tres ordenadores. Parece que Gmail en el Macbook está configurado como una cuenta POP.