Tiene la fecha equivocada. Puede que haya un problema con la batería: que se haya descargado por completo. Si el problema es temporal, puedes intentar ajustar la hora y la fecha en Recovery (Comando R). A partir de ahí, también tienes otras opciones como comprobar la partición del sistema. Luego reinicia y esperemos que todo vuelva a funcionar.
También, puede haber opciones de menú donde te sale el error donde puedes elegir el disco de arranque. Lo mismo puedes hacer arrancando con la tecla ALT/Opción.
Restablecer la PRAM y el SMC también puede ayudar - y luego tal vez ajustar la fecha de nuevo en Recovery.
Además, parece que se ha desinstalado algo que el ordenador busca al arrancar. Si arrancas en arranque seguro (Shift), el ordenador puede arrancar y puedes intentar deshacer lo que hiciste, o limpiar los restos de algo que borraste. Busca en los foros launchagents, cache y demás para ver que necesitas borrar. Comprueba también la hora y la fecha de tu ordenador.
Si el problema se debe a que el disco duro está lleno (el error de reinstalación apunta a ello), elimina algunos archivos innecesarios (caché, descargas, etc.) para conseguir espacio suficiente. Lo más fácil es empezar desde un disco externo. Si no tienes una copia de seguridad del sistema operativo, consigue un disco vacío, conéctalo, inicia en recuperación e instala OS X en él. Entonces puedes empezar desde ahí y usar Finder para hacer más espacio en tu disco principal. Eso ya podría resolver el problema.
Si eso falla, ahora también puedes reinstalar el sistema operativo, ya que puedes liberar espacio suficiente en el disco. Antes de hacerlo, si no tienes una copia de seguridad, guarda el contenido de tu disco duro copiando todos los datos necesarios del disco del sistema. Sugiero instalar la misma versión que ya tienes en el disco del sistema, o una versión más reciente. Esto es más fácil desde el Recovery mencionado anteriormente. Sin embargo, esto no solucionará todos estos problemas - es posible que siga apareciendo el error.
Si te pasa, tienes que borrar el disco del sistema (nunca sin al menos dos copias de seguridad en discos diferentes seguro que no te pasa nada), instalar el sistema de nuevo, y restaurar la última copia de seguridad que funcione o sólo tus datos y reinstalar tus aplicaciones.
Edición: También podría ser un problema de hardware - por ejemplo, si no puede acceder a su disco incluso en Internet Recovery. En ese caso, necesitarás una reparación antes de poder utilizar el ordenador...
