Si bien puede haber una variedad de razones para que un iPhone se caliente, las más comunes incluyen el uso mientras se está cargando, el uso de un cargador malo (barato, de terceros), una batería mala (se puede descartar, ya que mencionó que tiene la batería reemplazada), uno u otro fallo de los componentes debido al envejecimiento (el iPhone 5 fue lanzado en 2012 y se produjeron por última vez en 2013 antes de ser descontinuado), el uso de una aplicación rouge (una aplicación no performante que puede causar el calentamiento del dispositivo en los dispositivos más lentos, por lo general ocurre con algunas aplicaciones de terceros y ciertos juegos que consumen muchos recursos), etc.
Por suerte, tu iPhone tiene un sensor de calor incorporado y si se calienta más allá de un punto, mostrará una señal de advertencia y se apagará automáticamente. Por lo tanto, aunque el calor podría ser una preocupación, no debería haber una amenaza real de daños graves (de nuevo, es preferible utilizar el equipo de carga original de Apple).
Aunque no hay una respuesta concreta para el problema, yo experimentaría ajustando varios de los parámetros mencionados anteriormente.