¿Existe un navegador moderno para iOS 10.3.3 capaz de soportar Javascript ES6+?

Por lo poco que sé sobre ECMAScript en Safari en iOS (que todos los navegadores deben usar para renderizar páginas web, como señaló @Mark en su comentario), algunas cosas son compatibles pero muchas no lo son. Y tu suposición es tan válida como la de cualquiera en cuanto a por qué eso es así (sin mencionar que es un tema fuera de lugar aquí).

Por lo tanto, es probable que te quedes sin soporte completo de ECMAScript en iOS a menos que quieras recurrir al jailbreak. No podemos ayudarte con eso y no sé si hay algún navegador para dispositivos iOS con jailbreak que sí admita ECMAScript.

Hasta donde sé, actualmente no.

Según esta tabla de compatibilidad de ES6, el único navegador de iOS que lo admite es Safari en iOS 11 (que admite el 99% de la implementación de ES6).

No está claro cuándo se actualiza la tabla anterior, o si incluiría otros navegadores cuando ofrezcan soporte para ES6+ en iOS (noto que solo mencionan Safari para iOS y ningún otro navegador).

Dado que hay muchos navegadores disponibles para iOS y la mayoría de ellos se actualizan regularmente, valdría la pena descargar algunos de ellos y actualizar regularmente para ver si alguno de ellos admite ES6+ en el futuro.

Como mínimo, seguiría supervisando Chrome, Firefox e incluso Microsoft Edge (que incluso admite iOS 9) en caso de que ofrezcan soporte. Sin embargo, también valdría la pena vigilar Opera y Dolphin.

[EDICIÓN]

Solo una aclaración menor. La razón por la que recomiendo que descargues y vigiles otros navegadores es que sus desarrolladores pueden optar por mantener la compatibilidad con dispositivos más antiguos, aunque en el fondo sigan utilizando el motor Webkit. En otras palabras, mientras que la versión de Safari que utiliza el último Webkit solo funciona en iOS 11 o superior, nada impide que otro navegador que use el último Webkit sea compatible con iOS 10, etc.

Acabo de probar Dolphin en el iPad de cuarta generación de mi mamá, con iOS 10.3.3, y Dolphin pudo abrir Facebook, que recientemente empezó a marcar a Safari como "no compatible" y limitar lo que se podía buscar.

Todavía no he visto cómo funciona con el correo de AOL, que ha sido problemático recientemente a través del icono de Correo en el dock (requiriendo una contraseña especial generada por AOL), pero estaba bien en Safari (aunque lo que solía aparecer como la versión de escritorio al usar Safari también cambió recientemente). Acabo de verificar; tiene el nuevo aspecto de iPad, pero pudo obtener correo actual, algo que el programa de Correo no pudo hacer.

¡Gracias por ayudar a mantener útil el iPad de mamá; espero que nuestras experiencias ayuden a otros!