Apple iOS ejecuta cada aplicación en una caja de arena, por lo que, en general, ninguna aplicación puede ver los datos de otra aplicación. La mejora de la seguridad y la privacidad en iOS con respecto a Android tiene el coste del intercambio de datos. Esta decisión de diseño también mejora el rendimiento y ahorra batería, ya que todas las aplicaciones no están buscando actualizaciones en todas las demás, ni extrayendo datos que luego pueden cargar para tratar de rastrear todo lo que haces y almacenas en tu dispositivo.
Dicho esto, hay varias API de almacenamiento de archivos comunes en iOS. Si todas las aplicaciones que utilizas almacenan el vídeo/imagen/datos en un lugar común, no hay ninguna razón técnica por la que no puedas tener la misma vista unificada.
En la práctica, tendrás que curar o guardar manualmente los medios que quieras en cada caso, ya que la mayoría de las aplicaciones "gratuitas", como Instagram, Snapchat y Facebook, tienen modelos de negocio que hacen que compartir contenidos vaya en contra de sus intereses. Dado que los consumidores son el producto en lugar del cliente de esas aplicaciones, no preveo una adopción enorme o rápida del almacenamiento común en iOS a corto plazo, incluso con iOS 11, que facilita mucho el uso del "sistema de archivos genérico con capacidad de búsqueda" que mencionas y que es común en los ordenadores y en los sistemas operativos Android.