Edición tardía:
Debido a que más de una persona estaba confundida por el término 'seguido por' y solo para ser claro…
Primero debes cerrar el diálogo que te indica hacer esto, para volver al campo de entrada de contraseña.
Luego, si tu contraseña es pa55word
y tu código de verificación es 123456
, entonces en el campo de contraseña debes ingresar pa55word123456
todo en una cadena al mismo tiempo.
Según esta página de soporte de Apple, el problema es la autenticación de dos factores con dispositivos/iOS antiguos.
¿Qué sucede si uso autenticación de dos factores en un dispositivo con software antiguo?
Si utilizas autenticación de dos factores con dispositivos que ejecutan versiones antiguas de SO, es posible que te pidan que añadas tu código de verificación de seis dígitos al final de tu contraseña al iniciar sesión.
Obtén tu código de verificación desde un dispositivo de confianza que ejecute iOS 9 y versiones posteriores o OS X El Capitan y versiones posteriores, o haz que lo envíen a tu número de teléfono de confianza. Luego escribe tu contraseña seguida por el código de verificación de seis dígitos directamente en el campo de contraseña sin ningún espacio entre la contraseña y el código de verificación.
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Estoy ofendido de que Game Center incluso exista, pero no votaría negativamente a alguien por señalar un error de programación bastante estúpido en él. :-)
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Leí en uno de los hilos de discusión de Apple que puedes escribir el código en el campo de contraseña, justo después de tu contraseña y sin usar espacios. Algunos usuarios dicen que funciona. No uso Game Center, pero supongo que hay un inicio de sesión de Apple en alguna parte.
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El mensaje de error proporcionado (mostrado en la captura de pantalla de la pregunta) explica precisamente cómo funciona: ingresar 'tu contraseña seguida del código de verificación'. ¿Debo estar omitiendo algo con respecto a qué conocimiento previo mencionas que se requiere para completar esto?