Que yo sepa, técnicamente no hay una manera de desactivar específicamente y sólo el sonido del obturador de la cámara para las capturas de pantalla, pero todavía hay soluciones para que deje de hacer el sonido:
Una de las cosas que puedes hacer es accionar el interruptor de silencio en el lado de tu dispositivo para ser silenciado (silencio/vibración). Verás un icono de Silencio del Timbre en la pantalla y puede que sientas una vibración en un iPhone. Después de eso, no habrá ruido de la captura de pantalla (entre otras cosas).
En un iPhone, si no quieres recibir la vibración al poner el teléfono en silencio, o si quieres dejarlo en silencio sin recibir vibraciones, puedes ir a Ajustes > Sonido y desactivar "Vibrar en silencio". Entonces no vibrará ni hará ningún ruido. Sin embargo, tampoco escucharás ningún sonido de notificación o vibración, por lo que corres el riesgo de perderte algunas alertas. Así que en este caso lo que puedes hacer es poner el conmutador de silencio en silencio justo antes de tomar una captura de pantalla (y no hará ningún ruido de vibración), y luego después de la captura de pantalla ponerlo de nuevo en normal.
Otra alternativa, si no te importa el sonido del obturador de la cámara pero lo quieres más silencioso, es que en Ajustes > Sonidos puedes deslizar Timbre y Alertas al mínimo. Seguirá emitiendo sonidos, pero en silencio. Pero, de nuevo, corres el riesgo de que tu teléfono no suene en algunas situaciones, ya que estará en silencio.
Editar: Me he dado cuenta de que en iOS 10.3, cuando se activa el interruptor de silencio mientras la cámara está abierta, no hace ninguna vibración. Así que usted podría simplemente cambiar a silencio antes de tomar la foto, y luego cambiar de nuevo a la normalidad cuando haya terminado.