¿Por qué los mismos caracteres aparecen con una 'presentación de texto' en algunas situaciones y una 'presentación de emoji' en otras?

Existen tanto un 'estilo de texto' como un 'estilo de emoji' para U+25B6 TRIÁNGULO NEGRA HACIA LA DERECHA (). El estilo que obtengas depende del estilo que tenga la fuente que estás usando en ese momento. Por ejemplo, la fuente Apple Color Emoji tiene un glifo de 'estilo emoji' para U+25B6 TRIÁNGULO NEGRA HACIA LA DERECHA mientras que la fuente Lucida Grande tiene un glifo 'estilo de texto' para U+25B6 TRIÁNGULO NEGRA HACIA LA DERECHA. Esto es válido en un editor de texto, donde tienes control sobre la fuente que estás usando para cada carácter, pero no en contextos en los que no lo tienes.

¿Cómo puedo especificar si quiero la 'presentación de texto' o la 'presentación de emoji' para un punto de código en contextos en los que no tengo control sobre la fuente?

El Consorcio Unicode realmente proporcionó una solución para este problema en Unicode 6.1, detallado en este Informe Técnico Unicode.

Esencialmente, han designado dos puntos de código como selectores de variación de emoji: U+FE0E SELECTOR DE VARIACIÓN-15 (para una presentación de texto) y U+FE0F SELECTOR DE VARIACIÓN-16 (para una presentación de emoji).

Déjame explicar cómo funcionan. Cada vez que escribas uno de esos dos selectores de variación en un campo de texto (ya sea copiando y pegando o de otra manera), el sistema de renderizado de texto de tu sistema operativo—uno conforme al Estándar Unicode, v6.1+—cambiará el glifo (a través de sustitución de fuente, si es necesario) para el carácter inmediatamente anterior al selector de variación que acabas de introducir para que coincida con 'estilo de texto' o 'estilo de emoji' (dependiendo de cuál sea el selector de variación que introdujiste después del emoji).

Aquí tienes una demostración:

(U+25B6 U+FE0E)

(U+25B6 U+FE0F)

Para las personas que ven esta página en sistemas operativos más antiguos, he incluido algunas imágenes a continuación que muestran el comportamiento en un cuadro de texto normal en OS X v10.11 El Capitán.

La fuente del sistema en OS X v10.11 (que es San Francisco), no tiene un glifo para U+25B6 TRIÁNGULO NEGRA HACIA LA DERECHA, por lo que el sistema de renderizado de texto de OS X realiza automáticamente una sustitución de fuente y termina usando la fuente Lucida Grande UI en su lugar, que tiene un glifo 'estilo de texto' para U+25B6:

Usar U+FE0E SELECTOR DE VARIACIÓN-15 inmediatamente después de ello hace que sea 'estilo de texto', por lo que el resultado es el mismo:

Usar U+FE0F SELECTOR DE VARIACIÓN-16 inmediatamente después hace que el sistema de renderizado de texto de OS X use una fuente con un glifo de 'estilo emoji' para U+25B6 TRIÁNGULO NEGRA HACIA LA DERECHA en su lugar, que resulta ser la fuente Apple Color Emoji:

(Para los curiosos, las capturas de pantalla muestran la indispensable utilidad Split Up en UnicodeChecker).

No puedes. Los emojis son parte de iOS y no se pueden desactivar.

Los mensajes en Mac tienen una opción para no reemplazar las emoticones convencionales con emoji.

Editar > Sustituciones > Emoji

Tengo esto desactivado en mi Mac y si escribo ;-) eso es lo que se transmite.
Si hago lo mismo en mi iPhone, sucede lo mismo, solo se transmite y recibe ;-).
No tengo recuerdo de haber cambiado ese comportamiento en el teléfono, ni puedo encontrar ninguna opción que me permita hacerlo, y cambiarlo en la Mac no parece afectar al teléfono.

Tom Gewecke tiene razón, aunque si el dispositivo receptor no es otro iPhone, su dispositivo puede auto-traducirlo en emoji, sobre lo cual no tienes control.

Otra cosa es que tampoco tienes control sobre qué fuente está siendo utilizada por el dispositivo receptor.

Dicho todo esto, asumí que estabas hablando de iMessage, pero me doy cuenta de que no está claro en tu pregunta. Quizás aclarar en qué aplicación te refieres podría cambiar esta y otras respuestas.
Además, por lo que veo, ninguno de esos símbolos que usaste en realidad son emoji, simplemente son ASCII superior o posiblemente unicode [No revisé cada uno]