Game Center en Mountain Lion no me deja iniciar sesión

Tuve un problema similar. Para mí, había una pantalla de verificación que aparecía detrás de la pantalla de inicio de sesión. No podía verla en absoluto. No estoy seguro de por qué se me ocurrió, pero al arrastrar la ventana más frontal me apareció la pantalla de verificación, hice lo que había que hacer allí, y seguí con el Game Center para quedar decepcionado.

Hay un error que causa esto. Yo tampoco puedo entrar, y el problema no es con la cuenta porque crear un nuevo perfil no ayudó.

No estoy seguro de si alguna vez lo resolviste, pero acabo de tener prácticamente el mismo problema en Mavericks. La única diferencia es que, en lugar de quedarse atascado en esa pantalla en blanco, la pantalla aparecía, desaparecía, me pedía que iniciara sesión de nuevo y se repetía en un bucle interminable. Lo que hice para resolver esto era salir de Chess, pero dejar el Game Center abierto. Esto me permitió iniciar la sesión normalmente y funcionó bien después de eso.