Tengo tanto un Mac como un iPhone: el icono de AirPlay para transmitir vídeo y música a AppleTV aparece y desaparece en ambos.
Creo que es un problema de la red, pero no sé cómo resolverlo, ya que puede funcionar perfectamente un día y al siguiente ningún dispositivo puede encontrar el AppleTV.
Tuve exactamente el mismo problema. Mi Mac, iPhone o iPad no se conectaba porque el icono desaparece a intervalos aleatorios.
Puedes intentar conectar un cable de Ethernet, pero esto no parece solucionar el problema de forma permanente.
Lo que hice fue conseguir un nuevo router que soporta doble banda (2,4 GHz y 5 GHz). El iPhone usa 2,4 GHz y mi Mac y AppleTV usan 5 GHz. Había menos tráfico de esa manera (debido a la división de las bandas en diferentes dispositivos) a través del router y el AppleTV siempre es detectado. Esto obligó a que la opción AirPlay siempre apareciera en mis dispositivos.
Puedes comprobar mi pregunta y otras posibles respuestas aquí ¿Desapareció la opción de emisión?
Después de un tiempo puedo decir que AirPlay funciona regularmente en todos mis dispositivos. Raramente se necesita reiniciar, normalmente es disponible. No sé por qué, probablemente actualizaciones de software para iOS 6.1 o la última versión de Lyon. O probablemente, porque he reiniciado mi módem unas cuantas veces.
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