No. Se requiere Thunderbolt 2.

¿Qué es Thunderbolt 2?

Thunderbolt 2 es una actualización de la especificación Thunderbolt original y toma los dos canales bidireccionales de 10 Gbps del original y los combina en un único canal bidireccional de 20 Gbps. La cantidad de datos que puede pasar por una conexión Thunderbolt no ha aumentado, pero el rendimiento de un solo canal se ha duplicado.

¿Qué tiene que ver Thunderbolt 2 con el vídeo 4K?

El vídeo 4K (un formato de vídeo que tiene una resolución cuatro veces superior a la de 1080p y que está ganando popularidad entre los profesionales del vídeo) requiere más ancho de banda del que puede acomodar el Thunderbolt original. Thunderbolt 2 podrá transmitir ese vídeo 4K y escribirlo en el disco al mismo tiempo.

Extracto de este artículo de MacWorld

Es puede ser capaz de.

Según http://www.anandtech.com/show/7007/intels-haswell-an-htpc-perspective :

Haswell sí tiene soporte para pantallas 4K y tendremos una sección dedicada para ver qué tal funciona.

Toda la sección de la que hablan:

http://www.anandtech.com/show/7007/intels-haswell-an-htpc-perspective/7

Una cita:

La buena noticia es que el 4K sobre HDMI de Haswell funciona bien, de forma limitada.

Así que, tal vez lo haga, tal vez no, ya que el Macbook Air de mediados de 2013 y principios de 2014 sólo tiene mini-DisplayPort, así que, estás añadiendo la incertidumbre de un adaptador basura a la ya frágil mezcla.

Estaría bien que alguien lo probara en profundidad e informara con resultados más seguros.

ACTUALIZACIÓN 0:

Según http://www.redsharknews.com/technology/item/1646-editor-hacks-2011-macbook-air-to-output-4k de 2014-04, parece que incluso el Macbook Air de 2011 puede ser capaz de soportar la resolución 4K, aunque sólo a 25Hz y con algunos problemas de fiabilidad, y 2011 tenía HD Graphics 3000, según http://en.wikipedia.org/wiki/MacBook_Air#Specifications , mientras que a mediados de 2013 y principios de 2014 tienen HD Graphics 5000 de una CPU Haswell.

ACTUALIZACIÓN 1:

Además, hay un informe de un Macbook Air 2012, que tiene simplemente HD Graphics 4000, que soporta un Seiki 4K -- http://forums.macrumors.com/showthread.php?t=1681560 . Así que yo diría que es muy probable que un Macbook Air de mediados de 2013 tampoco tenga muchos problemas con 3840x2160@30Hz.

No. El 4K simplemente no es posible para los propietarios de Macbook Air fabricados en 2013 o 2014. El problema está en la tarjeta gráfica Intel HD5000 y en Mac OS, y no hay ninguna cantidad de ajustes, de EDID, de SwitchResX o de esperanzas de que esto funcione en Mac OS.

Decidí quedarme con la Seiki y usarla @4K bajo Windows (que funciona bien). Es un problema de software. También he probado los parches de Internet (para Mac OS) y varias actualizaciones del firmware de la pantalla, pero sin éxito. Por desgracia

Acabo de probar con la Seiki 4k y mi Macbook Air 2013 con un adaptador Accell B-86B-008B. El televisor capta la señal con la resolución correcta, sin embargo parece que hay un problema específico del controlador gráfico del adaptador de pantalla Intel HD 5000 que hace que la mitad de la pantalla se corrompa.

Esto se hizo siguiendo las instrucciones indicadas aquí: http://www.dpreview.com/forums/thread/3633447 . Después de hacer esto me encontré con el problema descrito aquí: http://forums.macrumors.com/showthread.php?t=1646972 .

Por lo que veo, no parece haber una solución para esto por ahora. Otros informan que esto funciona en los viejos Macbook Airs y mac minis así que creo que es específico para el MBA 2013.