Mover los contactos entre grupos no se puede hacer a través del iPhone. Tendrás que sincronizar tu iPhone a través de iTunes y asegurarte de que la sincronización de contactos esté activada. El siguiente proceso también se puede utilizar con tu cuenta de GMail en lugar de Exchange.
Para mover los contactos existentes, siga estos pasos:
Connect your iPhone to your Mac.
Open iTunes and look for your iPhone under devices in the left navigation section.
Click on your iPhone to view iPhone sync settings.
Click on the Info tab at the top of the sync section.
On the Info tab, select the checkbox next to 'Sync address book contacts'
Click Sync on the bottom right corner of the sync section.
Las instrucciones anteriores sincronizarán los contactos de tu iPhone con tu Agenda en el Mac.
Open Address Book.
Add your exchange account, if you have not done it already.
After that you can move your iPhone contacts to your exchange account by dragging-and-dropping.
También debe configurar los ajustes del iPhone para que los contactos recién creados se creen en el lugar correcto, de modo que no sea necesario repetir este proceso,
Go to Settings -> Mail, Contacts, Calendars
Scroll to 'Contacts' section
Tap on the 'Default Account' tab and select your exchange account.
¡Deberías estar listo ahora!