No, la función a la que se refiere se llama Target Display Mode
Sólo está disponible en algunos iMacs Intel con Thunderbolt o Mini Display Port. Y son muy exigentes con su origen, sólo los Macs con el Mini Display Port pueden dar salida a los iMacs con Mini Display Port, lo mismo para Thunderbolt.
Creo que Belkin tiene un accesorio que engaña al iMac para que tome otras fuentes. Pero la cuestión es que tu Macbook Air no lo soporta.
Te voy a recomendar que consigas un monitor, pero si realmente quieres usar esa pantalla, puedes hacerlo. Esta es tu opción: Tarjetas de captura de vídeo. Puedes encontrarlas en Amazon.
Básicamente son tarjetas que se conectan con suerte por USB o Thunderbolt a tu Mac, y luego transmiten un vídeo desde una fuente conectada a él. Las de gama alta tendrán entrada HDMI 1080p o codificación H.264. Su uso principal es descargar el trabajo de codificación de la CPU para que su ordenador pueda centrarse en la transmisión de contenidos a Internet. No obstante, puede ver ese contenido de forma local.