Esta respuesta asume que has descargado e instalado todas las actualizaciones disponibles para Mavericks (OS X 10.9.5). La última versión posible de MacOS disponible para tu Mac es Big Sur. Apple proporciona el sitio web Cómo descargar macOS que tiene la URL https://support.apple.com/en-us/HT211683 . Sin embargo, si utiliza la versión de Safari incluida con Mavericks para acceder a esta URL, obtendrá el siguiente mensaje.
Una posible alternativa sería utilizar la versión de Safari incluida con Mavericks para acceder al sitio web http://maclinks.publicvm.com . Aquí encontrará enlaces a la App Store de Apple para High Sierra a través de Ventura. Por ejemplo, el enlace para "Big Sur 11" abrirá la siguiente ventana de la App Store.
Si tienes problemas para iniciar sesión en la App Store, entonces la pregunta No hay campos de entrada para la verificación del ID de Apple para el iMac 10.10.5 puede ser de ayuda.
También debo señalar que Respuesta de Tetsujin viene con la siguiente advertencia.
Si usted está tratando de saltar un largo camino - por ejemplo, de 10.8 a 10.14 o posterior, la sabiduría recibida es actualizar primero a El Capitan 10.11, a continuación, High Sierra 10.13.
Esto preparará su máquina para el salto de longitud.
Algunos usuarios parecen haber conseguido saltarse El Capitán, pero High Sierra sigue siendo necesario, si nunca antes ha estado en el Mac, ya que añade una actualización de firmware necesaria para leer el nuevo sistema de archivos APFS.
IMO, usted podría considerar primero actualizar a High Sierra, y luego actualizar a Big Sur. Aunque, cuando hice la prueba en una máquina virtual, pude actualizar de Maverick directamente a Big Sur.